重差术

《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题，乃是测量城池、山高和井深之的测量问题，这种测量方法称为「重差术」。 三国时代数学家刘徽为了解释「重差术」，便撰写《重差》一卷，附在《九章算术》中《勾股》章之后，到了唐初，这一部分才被人从《九章算术》中抽出来，成为一部独立的著作。 因为它的第一题是关于测量海岛的高和远的问题，故将《重差》更名为《海岛算经》。

《海岛算经》第一题

今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高及去表各几何？

此题提出望见有一个海岛，不知道它的高度和离岸距离，讨论如何量度海岛的高度和离岸距离。

可以的话 加分。

还有：

割圆术

魏晋间人刘徽为了推导圆面积的计算公式并推求圆周率较精密之值，创造了「割圆术」，为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。 所谓圆周率，是指圆的周长与直径的比率。 在刘徽之前，中国通常采用的是「古率」，即取圆周率为3，很不精确，它实际上是圆内接正六边形周长与圆的直径之比，而不是圆的周长与直径之比。 但是，刘徽却从中得到启发：如果把圆周分割成十二等分，作出圆内接正十二边形，那么它的面积和周长就相应地比圆内接正六边形接近于圆的面积和周长，因而用圆内接正十二边形周长与圆直径之比作圆周率的近似值，就比「周三径一」精确一些。 如果进一细分，作出圆内接二十四边形，那么又可求出更精确一些的圆周率近似值。 「 割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣 」。 刘徽从圆内接正六边形开始，不断倍增图形的边数，边数愈多，多边形的面积便愈接近圆的面积，这就是刘徽所创的「割圆术」了。 刘徽从圆内接正六边形一直割到圆内接正一百十二边形，得出圆周率近似值为3．14 ，当刘徽把正多边形的边数倍增至3072时，又求得圆周率的分数值为 ，小数的近似值为3．1416 ，准确至四位小数。 后世称这个数为「徽率」。 都是当时世界第一流水平的成就。 二百多年后，祖冲之继续推算，于得出了更精确的结果：

3.1415926 ＜圆周率＜ 3.1415927

(祖冲之是世界上第一位把圆周率值计算准确至七位小数的人)

此外，祖冲之还给出了圆周率的两个分数值准确度较低的 (称为疏率)

准确度较高的 (称为密率)

然而，究竟祖冲之用什么方法把圆周率的值计算准确至七位小数，而他又怎样找出作为圆周率的近似分数呢?这些问题至今仍是数学史上的谜。 据数学史家们分析，他很可能采用了刘徽的「割圆术」，如果言个分析不错话，那么，祖冲之就需要从圆内接正六边形分割到圆内接正12288边形和圆内接正24576边形 ，依次求出各多边形的周长和面积。 这个计算量是相当巨大的，至少要对九位数字反覆进行130次以上各种运算，其中乘方和开方就有近50次，任何一点微小的失误，都会导致推算失败。 可知祖冲之深厚扎实的数学功底，严谨求实的科学态度。 祖冲之求得的这个圆周率值要在一千年以后才由阿拉伯数学家于1427年打破。

会圆术

是北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的杰出创造，给出了弓形的弦、矢和弧长之间的近似关系。 「会圆术」是从《九章算术》的「方田」章所载的「弧田术」的基础发展而成的，所谓「会圆术」就是已知圆直径和弓形的高（即矢），而求弓形底（即弦）和弓形弧的方法。 用「弧田术」来计算所得的近似值，不很精密，但用「会圆术」来计算，虽然也只能得到近似值，但精确多了。

沈括 出的求弧长的近似公式：

其中d 为弧所在的圆径， c 为弧田的弦， v 为弧田的矢。

重差术

《九章算术》中《勾股》章的最后几个问题，乃是测量城池、山高和井深之的测量问题，这种测量方法称为「重差术」。 三国时代数学家刘徽为了解释「重差术」，便撰写《重差》一卷，附在《九章算术》中《勾股》章之后，到了唐初，这一部分才被人从《九章算术》中抽出来，成为一部独立的著作。 因为它的第一题是关于测量海岛的高和远的问题，故将《重差》更名为《海岛算经》。

《海岛算经》第一题

今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高及去表各几何？

此题提出望见有一个海岛，不知道它的高度和离岸距离，讨论如何量度海岛的高度和离岸距离。

刘徽给出的解法是：

立下两个高度都是h尺的标杆，两杆之间的距离是d尺，并且使这两个标杆和海岛的位置都处于一条直线上。 从前面标杆后退 a 尺，人目落地，观测杆顶和山顶在一条直线上。 再从后面的标杆后退 b 尺，人目落地，也可以观测到杆顶和山顶在一条直线上。

问海岛的高和海岛离岸距离：

海岛的高

海岛的远

由于这种计算需要两个差数，即 d 和 b - a ，故古代称为「重差术」。

解： a = 127 步， b = 127 步， h = 3 丈＝ 30 尺＝ 5 步， d = 1000 步

岛高 (1 里 = 300 步 )

岛远

盈不足术

盈不足术，在中国数学发展史上，有着很悠久历史，是一个原始的解题方法，（现在高等数学中求方程式实根近似值的假借法就是由古代的盈不足术发展而来的），后来的数学家并不十分重视，但是它流传到中亚细亚和欧洲之后，在欧洲代数学没有发达之前，曾广泛用这方法解决代数学上的问题好几百年，所以盈不足术在世界数学史上有光荣的地位的。

《九章算术 》解这类问题的术文相当于公式：

人数：

物价：

程大位解法的歌词是：

算家欲知盈不足，

两家互乘并为物 ，

并盈、不足 为人实数（被除数），

分率相减 余为法（除数），法除物实为物价，

法除人实人数目。

例： 今有（人）共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数物各几何？

答曰：七人；物价五十三

解：

物价= 人数=

方程

两千年前，中国古代有一部数学名著叫《九章算术》，其中一章名叫「方程」，是讲多元一次方程组的问题，对应于现今的线性方程组（System of linear equations)，十七世纪前后，欧洲代数首次传入中国，当时译'equation'为「相等式」。 十九世纪中叶，近代西方数学再次传入中国，1859年清数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合译《代数初步》，其中，'equation'的译名就是借用了中国古代的「方程」一词，这样，「方程」一词首次意为「含有未知数的等式」。 1873年，清数学家华蘅芳与英国传教士传兰雅合译《代数学》，他们则把'equation'译为「方程式」，他们的意思是，「方程」与「方程式」应该区别开来，「方程」仍指《九章算术》中的意思，而「方程式」是指「含有未知数的等式」。 直到1934年，中国数学学对数学名词进行逐一审查，确定「方程」与「方程式」者意义相通，至此「方程」与「方程式」同义，自此一直 沿用下来 。

贾宪三角

宋代数学家杨辉于公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了一幅「 开方作法本源图 」，人们把它称为「杨辉三角」，是一个用数字排列成的三角阵。 西方把这个三角形称为「巴斯卡三角形」，但法国数学家巴斯卡造出它已经是十七世纪的事了。 据杨辉说「开方作法本源图」：「出《释锁算书》，贾宪用此术」，贾宪是十一世纪初北宋的一位数学家，比杨辉早两个多世纪，因此应把这个三角形称为「贾宪三角」。

「贾宪三角」实际上是将二项式a + b乘方后展开式的系数表：见「开方作法本图」下面的五句话：

「 左袤乃积数，右袤乃偶算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命实而除之。 」

前三句说明了贾宪三角的结构，后二句明各系数在立成释锁方法中的作用。

（ 长方形土地东西的长叫做广，南北的长叫做袤。南北引申为上下。 ）

「 左袤乃积数 」指左边由上而下的那一行「一一一一一一一」是二项展开式中常数项系数；

「 右袤乃偶算 」指右边由上而下的「一一一一一一一」是展开式中最高次项系数；

「 中藏者皆廉 」指中间那些数是对应各次项的系数；

「 以廉乘商方，命实而除之 」指开方或解方程时用所得的商去乘各次项系数，再从实中减去。

杨辉之后，朱世杰《四元玉鉴》也有同样的图，

名为「 古法七乘方图 」

增乘开方法

即高次方程数值解法，这方法可以求得任意高次展开式的系数。 高次方程数值解法是中国传统数学中最重要内容之一，源远流长，成就卓著，在汉代的《九章算术》中已有开平方、开立方的明确而规范的步骤，以及求解一元二次方程的记载，此后，南北朝祖冲之父子的《缀术》，唐代王孝通《缉古算经》中都研究了三次方程解法，北宋时期，刘益创立正负开方术，突破了以往方程系数仅为正数的限制；贾宪着有《黄帝九章算法细草》，其中一部分被杨辉采入《详解九章算法》，保留了贾宪的杰出数学成就：增乘开方法；贾宪发展了增乘开方法，创立开方作法本源，解决了一般的开高次方问题。 开方作法本源图是一个由数字排列成三角形的数表，称为贾宪三角形，给出了二项式展开式中的系数。

大衍总数术

就是求解联立一次同余式组问题，这类问题，在中国古代数学中由来已久，至少可以上溯到汉代历法中上元积年的推算。 《孙子算经》「物不知数」的数学模型，表明这一方法在南北朝时期已相当成熟，十三世纪秦九韶给出了完整方法，将其推广到最一般的情形，这方法称为「大衍总数术」，通常把中国古代求一次同余问题的解法称为「大衍求一术」。 在欧洲，经过欧拉（ Euler ， 公元 1707 - 1783 ）、拉格朗日（ Lagrange ， 公元 1736 - 1813 ）、高斯（ Gauss ， 公元 1777 - 1855 ）、三位数学家六十多年的努力才达到相同水准，但已在秦九韶之后五百五十多年了。 中国古代数学这一杰出创造被方学者称为「中国剩余定理」，中国数学史界认为应叫做「孙子定理」。

天元术

天元是指问题中的未知数，「立天元某某」相当于现在的「设x为某某」的意思。 这种建立只包含一固未知数的一元代数方程的一般方法，被称为「天元术」。 「天元术」的起源大概是十三世纪初年的前后，创作者名字和年代不可考，流传下来的有元李治的《测圆海镜》和宋朱世杰的《四元玉鉴》、《算学启蒙》。

一元多次方程表示法「元」字的左边是一次项的系数，

上层依次为二次及三次项系数，下层为常数项，右图所示方程

四元术

是中国古代处理多元高方次程组问题（可多至四个未知数）的一套代数方法。 是将「天元术」只包含一个未知数的一元方程推广至二元、三元以至四元的高次联立方程组，因未知数可以有四个之多，后人把扩充后的天元术称为「四元术」。 「四元术」中的天、地、人、物四元，相当于现在的x 、 y 、 z 、 w ，而方程的各项，在筹式中都有各自相应的固定位置。

多元一次式表示法不同未知数以不同「元」表示，

计有天元、地元、人元和物元等 ，再把「太」字放在各元中间，下为天元，上为物元，左为地元，右为人元。

右图所示方程2 x + 6 y + 3 z + 7 w = 0

招差术

即内插法，是中国数学史上有世界意义的重要成就，汉代历法中已经使用了一次内插法，隋唐时期创用了二次内插法，元数学家王恂用了三次内插法，并将其运用到历法中的许多问题，朱世杰在此基础上更进一步，把垛积与招差视为相对互逆的运算，利用三角垛系统的结果建立了四次内插公式，这比西方的同类成果早了三百多年。

垛积术

即高阶等差级数求和问题。 设有一些形状及大小均相同的离散物体堆积为一个规则台体，应如何计算这些物体的个数 ?

在《九章算术》中己经绘出各种台体，拟台体的体积公式，但离散物体的垛积问题直到沈括正式提出，并得到完满的解决，这一成就构成了中国垛积术研究的开端，以后续有人研究，南宋杨辉在《详解九章算法》及《算法通变本末》中给出了三个垛积公式：

三角垛

四隅垛

方垛垛 ( 其中 n 为垛层数 )

后来元代朱世杰较大的发展，在《四元玉鉴》中有系统而深入的研究垛积问题，取得了极为辉煌的成就，并使之在其后数百年中一直成为数学家们关注的课题。

朱世杰的许多级数求和问题中，可归纳出一串有着重要意义的公式：

这类求和公式统称为三角垛公式。

到十九世纪李善兰的《垛积比类》集中算史上垛积之大成，乃有进一步发挥。 在此基础上产生了李善兰恒等式和「尖锥术」等一系列优秀成果。

纵横图

即现代所谓幻方（ Magic Square ），一般是指由1到n的连续自然数组成的一个方阵，每行、每列及两条对角线上的n个数之和均相同，至迟在战国时代已经出现，被称为洛书或九宫，但在后来的一千多年中并无进一步发展。

洛书显然是一个三阶幻方，其横 、 纵 、对角线各行三数之和都是十五。 据北周甄鸶注《数术记遗》： 「九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央」，是世界上最古老的三阶幻方 。

洛书

4 9 2

3 5 7

8 1 6

杨辉在他的《续古摘奇算法》中创「纵横图」之名，收入幻方十三个，包括：洛书数（三阶幻方）一，花十六图（四阶幻方）二，五五图（五阶幻方）二，六六图（六阶幻方）二，衍数图（七阶幻方）二，易数图（八阶幻方）二，九九图（九阶幻方）一，百子图（十阶幻方）一，另外还有聚五、聚六、聚五、攒九、八阵、连环诸图，是一些呈圆形的数学阵，具有与幻方类似的性质。 杨辉不仅记了许多幻方，而且对于奇数阶 3 n 阶及双数阶幻方提示了具有一般性的造方法，成为中国数学史上第一位对幻方进行系统的数学探讨的数学家。 此外，明代王文素着的《算学宝鉴》中亦有记载多种纵横图，程大位着的《算法统宗》在卷17里载有14种纵横图。 清代方中通的《数度衍》在卷首之一的「九九图说」后附有14种纵横图，它与杨辉著作中的基本上相同。 欧洲的同类工作直到十六世纪才得以系统地展开。

46 8 16 20 29 7 49

3 40 35 36 18 41 2

44 12 33 23 19 38 6

28 26 11 25 39 24 22

5 37 31 27 17 13 45

48 9 15 14 32 10 47

1 43 34 30 21 42 4

衍数图（七阶幻方） （纵横斜175 ）

31 76 13 36 81 18 29 74 11

22 40 58 27 45 63 20 38 56

67 4 49 72 9 54 65 2 47

30 75 12 32 77 14 34 79 16

21 39 57 23 41 59 25 43 61

66 3 48 68 5 50 70 7 52

35 80 17 28 73 10 33 78 15

26 44 62 19 37 55 24 42 60

71 8 53 64 1 46 69 6 51

九九图（九阶幻方） （纵横斜369 ）

右图是杨辉的九九图，可以清楚地看出他以三阶幻方为基础构造一般的3 n阶幻方的尝试：

这一九阶幻方明显地划分为九个阶方阵，每个三阶为阵的各数都由九的倍数加上图中蓝色方框中的数字构成，且结构完全一致，其和谐、对称，富有规律，在数学上达到了十分优美的境界。 体现了杨辉幻方研究的高度理论水准。

1 20 21 40 41 60 61 80 81 100

99 82 79 62 59 42 39 22 19 2

3 18 23 38 43 58 63 78 83 98

97 84 77 64 57 44 37 24 17 4

5 16 25 36 45 56 65 76 85 96

95 86 75 66 55 46 35 26 15 6

14 7 34 27 54 47 74 67 94 87

88 93 68 73 48 53 28 33 8 13

12 9 32 29 52 49 72 69 92 89

91 90 71 70 51 50 31 30 11 10

百子图（十阶幻方） （纵横斜505 ）

尖锥术

公元 1845 年李善兰在其《方圆阐释》一书中建立了一套相当于简单形式的积分学 — 尖锥术理论，提出：

体积是由面积积迭而成，面积是由线段积迭而成。

体积可变为面积，面积可变为线段。

勾股形

勾股形为什么在中国古代直角三角形会叫「勾股形」呢?

原来，中国古代在进行天文测量时，在地上一根木竿，叫做「表」。

「表」在地面上投射出一道日影，于是表和日影构成了一个直角三角形的两条直角边。 中国古代就把直角三角形称为「勾股形」，「表」那条直角边称为「勾」，日影那条直角边称为「股」，勾股形的斜边称为「弦」 。

测出勾股的长度，便可以粗略地 推算出太阳的高度。

极限的极限思想

圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率．通常用希腊字母π来表示．1706年，英国人琼斯首创用π代表圆周率．他的符号并未立刻被采用，以后，欧拉予以提倡，才渐渐推广开来．现在π已成为圆周率的专用符号，π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的．

圆周率

1600年，英国威廉·奥托兰特首先用π表示圆周率，因为π是希腊之“圆周”的第一个字母，而δ是“直径”的第一个字母，当δ=1时，圆周率为π．1706年英国的琼斯首先使用π．1737年欧拉在其著作中使用π．后来被数学家广泛接受，一直沿用至今．

英国的琼斯

π是一个非常重要的常数．一位德国数学家评论道：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以做为衡量这个国家当时数学发展水平的重要标志．”古今中外很多数学家都孜孜不倦地寻求过π值的计算方法．

在古代，实际上长期使用π＝3这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此．到公元前2世纪，中国的《周髀算经》里已有“周三径一”的记载．东汉的数学家又将π值改为3.16．直正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德．他专门写了一篇论文《圆的度量》，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71．这是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值．第一次用正确方法计算π值的，是魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得π值为3.14．我国称这种方法为割圆术．直到1200年后，西方人才找到了类似的方法．后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率．

欧拉

公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次．祖冲之还找到了两个分数：22/7和355/113，用分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年．可惜，祖冲之的计算方法后来失传了．人们推测他用了刘徽的割圆术,但究竟用什么方法，还是一个谜．

祖冲之

祖冲之出生在一个世代对天文历法都有所研究的家庭，受环境熏陶他自幼就对数学和天文学有着非常浓厚的兴趣．《宋书·律历志》中，祖冲之有这样的自述：“臣少锐愚，尚专攻数术，搜练古今，博采沈奥．后将夏典，莫不摸量，周正汉朔，咸加该验……此臣以俯信偏识，不虚推古人者也……”．由此可见，祖冲之从小时起便搜集、阅读了前人的大量数学文献，并对这些资料进行了深入系统的研究，坚持对每步计算都做亲身的考核验证，不被前人的成就所束缚，纠正其错误同时加之自己的理解与创造，使得他在以下三方面对我国古代数学有着巨大的推动：

一是圆周率的计算．他算得3.1415926＜π＜3.1415927且取为密率．π的取值范围及密率的计算都领先国外千余年．

二是球体积的计算．祖冲之与他的儿子祖恒一起找到了球体积的计算公式．这其中所用到的“祖恒原理”，“幂势既同则积不容异”，即等高处横截面积都相等的两个几何体的体积必相等．直到一千一百年后，意大利数学家卡瓦利里（B.Cavalieri）才提出与之有相仿意义的公理．

三是注解《九章算术》，并著《级术》、《级术》在唐代做为数学教育的课本，以“学官莫能究其深奥”而著称，可惜这部珍贵的典籍早已失传．

祖冲之在数学上的这些成就，使得这个时期在数学的某些方面“中国人不仅赶上了希腊人”，甚至领先他们一千年．

祖冲之的圆周率，保持了一千多年的世界记录．终于在1596年，由荷兰数学家卢道夫打破了．他把π值推到小数点后第15位小数，最后推到第35位．为了纪念他这项成就，人们在他1610年去世后的墓碑上，刻上3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为“卢道夫数”．

之后，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展．1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出808位小数的π值．电子计算机问世后，π的人工计算宣告结束．20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π，70年代又突破这个记录，算到了150万位．到90年代初，用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位．π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着技术和算法的革新．

极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：

对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。

极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。 （1）由来

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

（2）发展

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量ΔS与时间的改变量Δt之比 表示运动物体的平均速度，让Δt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：“如果当n无限增大时， 无限地接近于常数A，那么就说 以A为极限。”

这种描述性语言，人们容易接受，现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是，这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系，不能作为科学论证的逻辑基础。

正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们的怀疑与攻击，例如，在瞬时速度概念中，究竟Δt是否等于零？如果说是零，怎么能用它去作除法呢？如果它不是零，又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。

贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。

（3）完善

极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚；对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解；对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法，就不能适应变量数学的新需要，仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。

到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：“一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”，它接近于极限的正确定义；然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。

首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f(x)的导数定义为差商 的极限f'(x)，他强调指出f'(x)不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但关于极限的本质他仍未说清楚。

到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其理论，他在《分析教程》中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。”

柯西把无穷小视为以0为极限的变量，这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识，这就是说，在变化过程中，它的值可以是非零，但它变化的趋向是“零”，可以无限地接近于零。

柯西试图消除极限概念中的几何直观，作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如“无限趋近”、“要多小就多小”等，因此还保留着几何和物理的直观痕迹，没有达到彻底严密化的程度。

为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 ，就是指：“如果对任何 ，总存在自然数N，使得当 时，不等式 恒成立”。

这个定义，借助不等式，通过ε和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是数及其大小关系，此外只是给定、存在、任取等词语，已经摆脱了“趋近”一词，不再求助于运动的直观。

众所周知，常量数学静态地研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，运动进入了数学，人们有可能对物理过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯建立的ε－N语言，则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态——动态——静态”的螺旋式的演变，反映了数学发展的辩证规律。 极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从量变认识质变，从近似认识精确。

无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。

“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。

曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的。

量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。

近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。 极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：

（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。

（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。

（3）函数在点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式 的极限。

（4）数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。

（5）广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数）当 时的极限，等等。 极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。

有时我们要确定某一个量，首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值，而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越准确的近似值；然后通过考察这一连串近似值的趋向，把那个量的准确值确定下来。这就是运用了极限的思想方法。